Super Champions League ed equilibrio di Nash

CHI DOVREBBE VINCERE LA CHAMPIONS SECONDO LA MATEMATICA

Se chiedessimo a John Nash chi meriterebbe di sollevare la prossima Champions League, la sua risposta non sarebbe “la più forte”, ma “quella che massimizza l’efficienza del sistema competitivo, senza alterarne l’equilibrio”.

1. Il contesto: il gioco della Champions

Consideriamo i 6 club che più influenzano l’ecosistema della Champions League:

• Real Madrid (RM)

• Manchester City (MC)

• Bayern Monaco (BM)

• Paris Saint-Germain (PSG)

• Inter (INT)

• Arsenal (ARS) (outsider simbolica: alta crescita, nessuna Champions vinta)

  
  

Le squadre evidenziate vengono prese come esempio, ma al posto del Bauern potrebbero esserci Barcelona, Milan o Liverpool, al posto dell'Inter la Juve ecc. Ogni club gioca una strategia: investire per vincere, gestire per rimanere competitivi, attendere il momento giusto.

2. Matrice strategica: payoff e posizionamento

Definiamo il payoff come:

U=F⋅R/(T+1)

dove:

• F = Fatturato ponderato (in centinaia di milioni, logaritmato)

• R = Roster rating (da 1 a 10, valutazione media ponderata Transfermarkt + UEFA)

• T = Trofei Champions vinti (più hai vinto, meno “devi” vincere di nuovo)

Club	F (log)	R	T	U (Payoff teorico Nash)
RM	2.85	9	14	1.58
MC	2.80	10	1	14.00
BM	2.75	8	6	3.14
PSG	2.75	7	0	19.25
INT	2.50	7	3	4.38
ARS	2.55	8	0	20.40

(Nota: F è calcolato come log base 10 del fatturato in milioni)

Interpretazione: il payoff mostra dove l’equilibrio si spezza. Se un club ha molti investimenti e nessuna vittoria, ha un incentivo molto alto a forzare la vittoria per non restare indietro. Il massimo payoff inespresso è di Arsenal, PSG e Man City.

3. Equilibrio di Nash: chi dovrebbe vincere

Un equilibrio di Nash si verifica quando nessun club ha incentivo a cambiare strategia unilateralmente. In termini calcistici: se ogni club ottenesse risultati coerenti con il proprio investimento storico, non avrebbe ragione di cambiare strategia.

Nel nostro caso, ciò significa che:

• Club con alta spesa e poche vittorie devono vincere.

• Club con molti trofei devono rallentare la propria corsa (Real Madrid, ad esempio).

• Club emergenti con ottimo roster e zero titoli (Arsenal) sono in posizione ottimale per vincere, ma romperebbero l’equilibrio se vincessero subito due o tre volte di fila.

4. Formula di assegnazione teorica

Definiamo un indice di “merito razionale” (MR) per la vittoria, normalizzato da 0 a 1:

MRi​\=∑j\=1n​Uj​Ui​

Calcolando:

Club	U	MR (%)
MC	14.00	26.1%
PSG	19.25	35.8%
ARS	20.40	37.9%
BM	3.14	5.8%
INT	4.38	8.2%
RM	1.58	2.9%

(NB: Totale superiore a 100% per via di approssimazione nei decimali)

5. Razionalità vs destino

Se il calcio fosse governato da Nash, Arsenal o PSG dovrebbero vincere la prossima Champions League. Non perché siano le migliori, ma perché devono farlo per riequilibrare la matrice, con buona pace delle altre due semifinaliste. Il Manchester City, invece, è in debito di gloria rispetto agli investimenti: vincere una seconda Champions sarebbe un atto “giustificato” e quasi dovuto.

Se inseriamo nuovi parametri e ci focalizziamo sulle quattro semifinaliste, come cambierebbero i risultati ?

📊 Dati e Calcoli: Le 2 Semifinali della Champions

Per analizzare razionalmente chi ha maggiori probabilità di vittoria, esaminiamo i seguenti fattori: Fatturato, Rosa, Albo d'Oro, Momento di Forma e Cammino in Champions League.

Utilizziamo una scala da 0 a 10 per ogni variabile e calcoliamo il payoff totale come segue:

Fatturato (F) - Su scala logaritmica per considerare le grandi disparità economiche tra i club:

F=log⁡(Fatturato)

Rosa (R) - Valutazione basata sul valore della rosa dei giocatori:

R=Valore totale della rosa in milioni di euro

Albo d'Oro (A) - Titoli vinti in Europa:

A=Numero di vittorie in Champions League

Stadio (S) - Considerando capienza, prestigio, storia dello stadio:

S=Capienza10000×Anni di costruzione

Momento di Forma (M) - Media delle prestazioni nelle ultime 10 partite (in percentuale):

M=Media percentuale dei risultati nelle ultime 10 partite

Cammino in Champions (C) - Difficoltà degli avversari incontrati, normalizzata tra 0 e 10:

C=Punti assegnati in base alla qualitaˋ degli avversari (vittorie, pareggi, difficoltaˋ)

📐 Dati Principali: Le 4 Semifinaliste

Squadra	Fatturato (log)	Rosa (R)	Albo d'Oro (A)	Stadio (S)	Momento di Forma (M)	Cammino (C)	Payoff
PSG	10.00	10.00	0.59	8.0	8.5	8.5	8.11
Barcellona	8.55	8.5	5	9.0	7.0	8.0	7.82
Inter	7.8	8.2	3	8.5	8.0	7.8	7.58
Arsenal	6.0	8.0	0	7.5	9.0	7.5	6.78

🔄 Interpretazione dell'Equilibrio di Nash

Nel contesto di un gioco a somma zero, ogni squadra cercherà di massimizzare le proprie probabilità di vittoria, tenendo conto delle forze in gioco. Qui, il PSG emerge come la squadra con il payoff più alto grazie a un fatturato enorme, una rosa stellare e un cammino difficile. Tuttavia, il momento di forma della squadra è un elemento decisivo: se il PSG avesse avuto un periodo di forma meno brillante, il Barcellona o Inter avrebbero avuto la possibilità di sopraffarlo, soprattutto considerando che la storia e il cammino in Champions League fanno sempre la differenza in un torneo così prestigioso.

⚖️ Un Risultato Equilibrato e la Possibilità di Vincere per un Outsider

Anche se il PSG ha una solida posizione, il concetto di equilibrio suggerisce che una squadra come l'Arsenal, che non ha mai vinto la Champions, potrebbe rompere l’equilibrio storico e portare un “nuovo” campione, creando così un cambiamento nella distribuzione delle risorse e delle forze storiche nel calcio.

📌 Conclusioni: Chi Merita di Vincere la Champions?

Se il calcio seguisse un modello razionale di gioco a somma zero, il PSG sarebbe il club più meritevole di vincere, data la sua straordinaria forza economica, rosa e cammino in Champions. Tuttavia, la storia gioca un ruolo significativo: squadre come il Barcellona o l'Inter (che hanno una tradizione europea solida) potrebbero ancora prevalere, anche se meno favoriti. La vera sorpresa potrebbe arrivare dall’Arsenal, che con una strategia mirata e un grande momento di forma potrebbe sfidare le probabilità e vincere il suo primo titolo.

In sintesi, se si considera tutto, dal fatturato alla storia, al momento di forma, il PSG rimane il favorito, ma il calcio, come sempre, potrebbe riservarci sorprese.